AGNER KRARUP ERLANG
N. 01-I-1878, Lønborg, Jutlandia, Dinamarca.
M. 03-II-1929, Copenhague, Dinamarca.
Matemático.
Realizó estudios de matemáticas en la universidad de Copenhague, licenciándose en 1901. Los siguientes 7 años los pasó dando clases en varios colegios e investigando en diversos campos de las matemáticas.
Como miembro de la asociación de matemáticos de Dinamarca (Matematisk Forening), entabló amistad con Johan L.W.V. Jensen, ingeniero jefe de la Compañía de Teléfonos de Copenhague (KTAS), que lo presentó al director de la misma Fritz Johannsen. Este le hizo una propuesta para entrar a trabajar en su compañía como asesor científico, y en 1908 ocupó su puesto como encargado del laboratorio de investigación científica, aplicando sus conocimientos matemáticos a la resolución de problemas del tráfico telefónico (T.T.).
En 1909 publicó su primer trabajo sobre la teoría del T.T. “Teoría de probabilidades y conversaciones telefónicas”, que despertó un gran interés entre los expertos en este campo de las compañías telefónicas.
REFERENCIA
TEORÍA DE COLAS
A principios del siglo XX, AGNER KRARUP ERLANG, un ingeniero telefónico danés, comenzó un estudio de la congestión y tiempos de espera que ocurrían al completar llamadas telefónicas. Desde entonces, la teoría de colas se ha vuelto mucho más compleja con aplicaciones en una amplia variedad de situaciones de línea de espera.
Hoy en día vemos un sistema de colas en la mayoría de situaciones cotidianas, por ejemplo:
* Al pagar un recibo
* En un banco
* Para sacar dinero del cajero
* Al pagar las compras en un supermercado
En fin las colas las tenemos en todos lados; los modelos de línea de espera consisten en formulas y relaciones matemáticas que pueden usarse para determinar las características operativas o medidas de desempeño para una cola. Las características operativas de interés incluyen las siguientes:
Hoy en día vemos un sistema de colas en la mayoría de situaciones cotidianas, por ejemplo:
* Al pagar un recibo
* En un banco
* Para sacar dinero del cajero
* Al pagar las compras en un supermercado
En fin las colas las tenemos en todos lados; los modelos de línea de espera consisten en formulas y relaciones matemáticas que pueden usarse para determinar las características operativas o medidas de desempeño para una cola. Las características operativas de interés incluyen las siguientes:
* Probabilidad de que no hayan unidades o clientes en el sistema
* Cantidad promedio de unidades en la línea de espera
* Cantidad promedio de clientes en el sistema (cantidad de unidades en la línea de espera más la cantidad de unidades que se están atendiendo)
* Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera
* Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio)
* Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LINEA DE ESPERA
Definir el proceso de llegada para una línea de espera y el tiempo de servicio es decir el tiempo que pasa un cliente en la instalación una vez que el servicio ha iniciado implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado y para el tiempo que dura el cliente en el sistema, los analistas cuantitativos han encontrado que la distribución de probabilidad POISSON proporciona una buena descripción del patrón de llegadas puesto que cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de la otra llegada; esta función de probabilidad proporciona la probabilidad de x llegadas en un periodo especifico. Para ello se tiene la siguiente ecuación:
Dónde:
X= cantidad de llegadas en el periodo
λ= Cantidad promedio de llegadas por periodo
e= 2.71828
Y la distribución de probabilidad exponencial para suponer el tiempo de servicio sea menos o igual a un tiempo de duración t utilizando la siguiente ecuación:
P (tiempo de servicio <= t) = 1 – e-ut
Dónde:
u = La cantidad media de unidades que pueden servirse por periodo
e= 2.71828
Teoria de colas
MODELO DE LINEA DE ESPERA DE UN SOLO CANALView more presentations from GraceDaniela
Supuestos:
*La línea de espera tiene un solo canal
*El patrón de llegadas sigue una distribución de probabilidad POISSON*Tiempo de servicio sigue una distribución de probabilidad exponencial
*La disciplina del servicio es (FIFO) primero en entrar primero en atender
Características operativas
λ= Cantidad promedio de llegadas por periodo (tasa de llegadas)
μ= Cantidad promedio de servicio por periodo (tasa media de servicio)
El factor de utilización del servicio nos proporciona la probabilidad de que el sistema tenga la capacidad para brindar el servicio. Las fórmulas del 1 al 7 solo se aplican cuando
λ / µ < 1
Esto es tasa promedio de llegadas > la tasa promedio de servicio; pero cuando
λ / µ > 1
En caso contrario la cola crece sin límite, pues el servicio no tiene la capacidad para manejar las unidades que llegan y el sistema colapsa.
1) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema
2) Número promedio de unidades en la fila de espera (tamaño de la fila)
3) Número promedio de unidades en el sistema (tamaño total)
4) Tiempo de espera promedio que una unidad pasa en la línea de espera
5) Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema
6) Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para obtener servicio
7) Probabilidad de que hayan unidades en el sistema.
Ejercicios:
1. Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Determinar:
Datos
l = 1 / 6 = 0.167 perros/min
m = 1 / 3 = 0.34 perros/min
La probabilidad de que Sam este de ocioso definirá de la siguiente manera:
Ahora la proporción de tiempo en que Sam está ocupado.
El número total de perros que están siendo vacunados y que esperan a ser vacunados
El numero promedio de perros que esperan a ser vacunados.
2.Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, él tiempo promedio para manejar cada una de estás es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación.
Datos
l = 2 llamadas/minutos
m = (1 / 20 seg)(60 seg) = 3 llamadas/minuto
La probabilidad de que el operador este ocupado se definirá:
El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por él operador
El numero de llamadas que esperan ser contestadas
3. Al principio de la temporada de fútbol, la oficina de boletos se ocupa mucho el día anterior al primer juego. Los clientes llegan a una tasa de cuatro llegadas cada 10 minutos y el tiempo promedio para realizar la transacción es de dos minutos.
l = (4 / 10) = 0.4 c/min
m = (1 /2 ) = 0.5 c/min
El numero promedio de gente en línea se definirá de la forma siguiente:
personasEl tiempo promedio que una persona pasaría en la oficina de boletos
minutosLa proporción de tiempo que el servidor está ocupado
MODELO DE LINEA DE ESPERA CON CANALES MULTIPLES
Suposiciones
- la línea de espera tiene 2 ó más canales (servidores)
-El patrón de llegadas sigue una distribución de probabilidad POISSON
- Tiempo de servicio de cada sigue una distribución de probabilidad exponencial
-La disciplina del servicio es (FIFO) primero en entrar primero en atender
- la tasa promedio de servicio µ, es la misma para todos los canales
- Las unidades que llegan aguardan en una sola línea de espera y después pasan al primer canal libre para obtener servicio.
Características de operación
λ= tasa promedio de llegadas al sistema
µ= tasa promedio de servicio para cada canal
k = número de canales
kµ= tasa promedio de servicio para el sistema de canales múltiple
1) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema
2) Número promedio de unidades en la fila de espera (tamaño de la fila)
3) Número promedio de unidades en el sistema (tamaño total)
4) Tiempo de espera promedio que una unidad pasa en la línea de espera
5) Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema
6) Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para obtener servicio
7) Probabilidad de que hayan unidades en el sistema.
Ejemplo
Considere una linea de espera con dos canales con llegadas POISSON y tiempos de servicio exponenciales. La tasa media de llegadas es de 14 unidades por hora y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora para cada canal.
a) ¿cual es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?
b) ¿cual es la cantidad de unidades promedio en espera?
c) ¿cual es el tiempo promedio que espera una unidad por el servicio?
DATOS
K=2
Tasa llegadas = 14 unid/hora
Tasa servicio = 10 unids/hora
a)
b)
b) ¿cual es la cantidad de unidades promedio en espera?
c) ¿cual es el tiempo promedio que espera una unidad por el servicio?
DATOS
K=2
Tasa llegadas = 14 unid/hora
Tasa servicio = 10 unids/hora
a)
c)
RELACIÓN GENERAL PARA LOS MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA
Las principales características de operación que interesan en las líneas de espera son: El número promedio de unidades en la línea de espera, el número de unidades en el sistema, el tiempo promedio que cada unidad pasa en la línea de espera y el tiempo promedio que cada unidad pasa en el sistema, esto es: W, L, Lq, Wq.
Ecuaciones de Flujo de Little.
JohnD.C. Little muestra que estas cuatro características están relacionadas en forma general y se aplican a diversos modelos de líneas de espera, independientemente.
En cualquier sistema de línea de espera las llegadas y los tiempos de servicio no tienen que seguir distribuciones de probabilidad específicas para que sean aplicadas las ecuaciones de flujo.
Primera ecuación: El número promedio de unidades en el sistema = tasa promedio de llegadas x tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema.
L = λW
Segunda ecuación: El número promedio de unidades en la cola = tasa promedio de llegadas x tiempo promedio que una unidad pasa en la cola (línea de espera)
Lq = λWq
De donde:
Wq = Lq / λ
Otra, ecuación general es:
El tiempo promedio en el sistema W = al tiempo promedio en espera (en cola)Wq + el tiempo promedio de servicio 1/ µ.
W = Wq + 1/ µ
